Расчет железобетонной балки таврового сечения

Схема двух тавровых балок
Т-луч

(или
тройник пучок
[1] ), используемая в строительстве , является несущей конструкцией из армированного бетона , дерева или металла , с Т — образной поперечное сечением . Верхняя часть Т- образного поперечного сечения служит фланцем или элементом сжатия при сопротивлении сжимающим напряжениям . Стенка (вертикальное сечение) балки под компрессионной полкой служит для противодействия напряжению сдвига.и чтобы обеспечить большее разделение связанных сил изгиба . [2]

Тавровая балка имеет большой недостаток по сравнению с двутавровой балкой ( двутавровой формы), потому что у нее нет нижней полки, которая могла бы выдерживать растягивающие усилия . Один из способов сделать тавровую балку более конструктивной — это использовать перевернутую тавровую балку с плитой перекрытия или мостовым настилом, соединяющим вершины балок. При правильном выполнении плита действует как прижимной фланец.

История [ править ]

Тавровая балка — это конструктивный элемент, способный выдерживать большие нагрузки за счет сопротивления балки или внутренних арматур. В некотором смысле T-образная балка восходит к тому моменту, когда человек впервые построил мост с пирсом и настилом. В конце концов, тавровая балка — это в каком-то смысле не более чем столб с горизонтальной станиной наверху или, в случае перевернутой тавровой балки, внизу. [3]Вертикальная часть, несущая натяжение балки, называется стенкой или штоком, а горизонтальная часть, несущая сжатие, называется фланцем. Однако используемые материалы с годами менялись, но основная структура осталась прежней. {Конструкции с тавровыми балками, такие как путепроводы на автомагистралях, здания и гаражи, имеют дополнительный материал, добавленный на нижней стороне, где стенка соединяется с фланцем, чтобы уменьшить уязвимость тавровой балки к напряжению сдвига. [4] Однако, когда кто-то более глубоко исследует конструкцию тавровых балок, появляются некоторые различия.

Предъявляемые требования к балкам

Для удовлетворения современных потребностей строителей к железобетонным балкам предъявляют многочисленные требования:

1. Величина прочности для каждого типа здания строго подбирается: для жилых помещений и чердачных конструкций предельная нагрузка составляет 105 кг/м2, для цокольных этажей и межэтажных перекрытий – 210 кг/м2.
2. Параметр жесткости для перекрытий между этажами должен равняться соотношению 1 к 250, для чердачных – 1 к 200.
3. Величины звуко- и теплоизоляции должны в точности соответствовать требованиям, предъявляемым к сооружаемым помещениям согласно нормативной документации.
4. По необходимости нужно обшивать балку или подбирать тип заполнителя межбалочных проемов.

Вернуться к оглавлению

Дизайн [ править ]

Тавровая балка, хотя и проста по конструкции, содержит множество интересных конструктивных элементов. В отличие от двутавровой балки, у тавровой балки отсутствует нижняя полка, что обеспечивает экономию материалов, но снижает сопротивление растягивающим силам. [5] В гаражах, однако, отсутствие нижнего фланца на Т-образной балке служит преимуществом, так как шток опирается на полку, делая фланец верхней палубой. Конструкции с тавровыми балками бывают разных размеров, длины и ширины в зависимости от конструкции и необходимого для нее напряжения сжатия. Однако простота Т-образной балки ставится под сомнение теми, кто справедливо протестировал бы более одной сложной конструкции; например, группа исследователей проверила перевернутые тавровые балки с предварительным натяжением и круглыми отверстиями в стенках [6].со смешанными, но в целом благоприятными результатами. Таким образом, в некоторых случаях дополнительное время и усилия, вложенные в создание более сложной структуры, окупаются. Более простой вопрос — это то, из какого материала или материалов составляется конструкция тавровых балок.

Пример расчета балки таврового сечения с учетом прогиба

Выполненный выше расчет на прочность (расчет по первой группе предельных состояний) как правило для шарнирно опертых однопролетных балок недостаточен и требует дополнительного расчета по деформациям. Методик определения прогиба ж/б конструкций существует несколько. На мой взгляд проще всего определить приблизительное значение прогиба при расчете по допускаемым нагрузкам.

Расчет по допускаемым нагрузкам, предполагающий упругую работу материала и не предусматривающий пластические деформации в сжатой зоне бетона, дает следующие результаты:

При определенных выше параметрах высота сжатой зоны бетона составит:

y = √3M/2b’fRb = √3·326765.6/2·76·105.3 = 7.826 см

При этом требуемая высота сжатой зоны при расчете по деформациям определяется решением следующего кубического уравнения:

у3 = 3As(ho — y)2Es/b’fEb (321.2.4)

и при Еb = 270000 кгс/см2, Es = 2000000 кгс/см2, составит примерно уf = 6.53 см (ур = 5.234 см).

Тогда при Ip = b’f(2yp)3/12 = 76(2·5.234)3/12 = 7264.8 см4 примерный прогиб балки составит:

f = 0.83·5·10.456·5004/(384·270000·7264.8) = 3.6 см > fu = 500/250 = 2 см (согласно СНиП 2.01.07-85)

Это достаточно большой прогиб и для его уменьшения можно увеличить количество балок, но можно и увеличить высоту и ширину сечения принятого количества балок, тем более, если это необходимо сделать для использования бетонной смеси с крупным щебнем. Например, при увеличении высоты балки всего на 2 см — до 17 см и ширины балки до 11 см и при той же арматуре ho = 22.3 см:

уf = 7 см (yp = 6.174 см), Ip = 76(2·6.174)3/12 = 11924 см4, приблизительный прогиб

f = 0.83·5·10.456·5004/(384·270000·11924) = 2.194 см ≈ fu = 2 см.

Примечание: приведенная методика определения прогиба не является рекомендованной нормативными документами, к тому же для упрощения расчетов не учитывалось то, что немного увеличится нагрузка от собственного веса балки. Тем не менее такая методика позволяет достаточно быстро определить приблизительное значение прогиба и оценить его влияние на работу конструкции.

Материалы [ править ]

Стальные тавровые балки [ править ]

Процесс производства стальных тавровых балок включает в себя горячую прокатку, экструзию, сварку листов и приварку. Процесс соединения двух стальных пластин большими роликами путем сжатия их вместе, называемый прижимным фитингом, является обычным процессом для ненесущих балок. Реальность такова, что сегодня для большинства проезжих частей и мостов практичнее использовать бетон в конструкции. Большинство конструкций с тавровыми балками состоит не только из стали или бетона, но из их сочетания, а именно из железобетона. [7]Хотя этот термин может относиться к любому из ряда средств армирования, в целом определение ограничивается бетоном, залитым вокруг арматуры. Это показывает, что при рассмотрении материалов, доступных для задачи, инженеры должны учитывать возможность того, что ни один отдельный материал не подходит для работы; скорее, лучшим решением может быть объединение нескольких материалов. Таким образом, сталь и бетон вместе могут оказаться идеальными.

Тавровые балки железобетонные [ править ]

Сам по себе бетон является хрупким и, таким образом, чрезмерно подвержен сдвиговым напряжениям на поверхностях тавровой балки, где встречаются стенка и полка. Это причина того, что сталь сочетается с бетоном в тавровых балках. Проблема напряжения сдвига может привести к отказу фланцев, отсоединяющихся от стенок под нагрузкой. [8] Это могло бы оказаться катастрофическим, если бы это произошло в реальной жизни; следовательно, существует реальная необходимость уменьшить эту возможность с помощью армирования бетонных тавровых балок. В таких композитных конструкциях возникает много вопросов относительно особенностей конструкции, включая то, каким может быть идеальное распределение бетона и стали: «Для оценки целевой функции необходимо соотношение стоимости стали к стоимости бетона». [9]Это демонстрирует, что для всех аспектов проектирования составных тавровых балок уравнения составляются только при наличии соответствующей информации. Тем не менее, есть аспекты дизайна, которые некоторые, возможно, даже не рассматривали, такие как возможность использования внешнего армирования на основе ткани, как описано Chajes et al., Которые говорят о своих испытанных балках: «Все балки не выдержали сдвига и с композитным армированием показали отличные характеристики сцепления. Для балок с внешним армированием достигнуто увеличение предела прочности от 60 до 150 процентов ». [4] Когда дело доходит до сопротивления поперечным силам, можно рассмотреть внешнее армирование. Таким образом, в целом, многочисленные важные аспекты конструкции Т-образной балки впечатляют студентов-инженеров.

Пример расчета на прочность балки таврового сечения

Планируется монолитное перекрытие в жилом помещении размерами 5х8 метров с 4 главными балками. Предварительно принятая высота основной плиты 8 см, предварительные размеры балок 10х15 см:

Рисунок 326.2

Примечание: На общей расчетной схеме (рис.326.2.а) размеры даны в миллиметрах, а размеры поперечного сечения балки (рис.326.2.б) даны в сантиметрах для упрощения дальнейших расчетов. Конструктивная арматура основной плиты для упрощения расчетов не учитывается.

1. Если и основная плита и балки будут бетонироваться одновременно, то высота основной плиты будет высотой полки h’f, а общая высота тавровой балки h = 8 + 15 = 23 см, а = 2.5 см, ho = 20.5 см. Для перекрытия будет использоваться бетон класса В20, с расчетным сопротивлением сжатию Rb = 11.5 МПа (117 кгс/см2) и арматура класса AIII (А400), имеющая расчетное сопротивление растяжению Rs = 355 МПа (3600 кгс/см2). В случае если бетонная смесь будет приготавливаться в домашних условиях (т.е. без должного контроля прочности образцов) и бетонирование будет выполняться не специалистами расчетное сопротивление бетона следует понизить. СНиПом СНиП 2.03.01-84 понижающий коэффициент, учитывающий качество выполнения работ, для подобных случаев не предусмотрен, да и тяжело предугадать, насколько сильно вышеуказанные причины могут повлиять на расчетное сопротивление бетона. Ориентировочно значение этого коэффициента может составлять от 0.5, если нет уверенности в своих силах, до 0.9, если уверенность в своих силах высокая. Дальнейший расчет будет производиться с использованием коэффициента качества работ γк = 0.9. Тогда расчетное значение сопротивления бетона сжатию составит:

Rb = 117·0.9 = 105.3 кг/см2

2. Пролет балок составляет 5 м, при этом bсв ≤ 500/6 = 83 см, первое условие соблюдается. Рассматриваемая балка входит в состав монолитного перекрытия, при этом высота плиты 8 см > 0.1h = 2.3 см, согласно п.2.2 расчетная ширина полки составит:

b’f = 152/2 = 76 см

3. Для определения высоты сжатой зоны сечения сначала необходимо определить максимальный изгибающий момент, действующий в рассматриваемом поперечном сечении тавровой балки. А для этого нужно знать нагрузки, действующие на перекрытие.

При расчете перекрытий жилых зданий в качестве расчетной временной нагрузки можно использовать следующее значение qвр = 400 кг/м2. Для балок с шагом 162 см расчетная временная нагрузка на погонный метр составит

qвр = 400·1.62 = 648 кг/м

Примечание: Более точное значение расчетной нагрузки следует определять по СНиП 2.01.07-85 «Нагрузки и воздействия», где приводятся значения нормативных нагрузок. Согласно указанного СНиП для плит перекрытий в квартирах жилых зданий нормативное значение распределенной нагрузки составляет 150 кг/м2. Затем это значение нужно умножить на коэффициент надежности по нагрузке, при таком значении нормативной нагрузки составляющий γн = 1.3 (1.4 по старым нормам). Таким образом расчетное значение временной нагрузки без учета стяжки, напольного покрытия и возможных других временных нагрузок составит

qсв = 150·1.3 = 195 кг/м2

Как показывает практика, если к определенной таким образом временной распределенной нагрузке прибавить временные нагрузки от выравнивающей стяжки, напольного покрытия и др., умноженные на соответствующие коэффициенты надежности по нагрузке, то суммарная временная нагрузка будет немного меньше указанных 400 кг/м2. Если до начала расчетов известна толщина будущей стяжки, вид напольного покрытия, расположение мебели и инженерного оборудования, то значение суммарной временной нагрузки можно рассчитать более точно. При этом значение расчетной временной нагрузки может снизиться на 30-70 кг/м2. Тем не менее дальнейший расчет будет выполняться по указанной выше временной нагрузке 400 кг/м2.

Примечание: Устройство каких-либо перегородок данным расчетом не предусматривается. Если по перекрытию планируется устройство перегородок, то следует предусмотреть отдельные балки под перегородки и рассчитать их с учетом возможных нагрузок. Исключение могут составлять легкие перегородки из ГКЛ, возле которых не будет устанавливаться мебель.

Постоянная нагрузка от собственного веса монолитного перекрытия на одну балку будет составлять qп = (0.08·1.62 + 0.1·0.15)2500 = 361.5 кг/м. Коэффициент надежности по нагрузке для бетонных и железобетонных конструкций составляет γн = 1.1. Тогда расчетное значение постоянной нагрузки составит qпр = 361.5·1.1 = 397.65 кг/м. Таким образом суммарная распределенная нагрузка на балку составит:

qр = qп + qв = 397.65 +648 = 1045.65 кг/м

Тогда максимальный изгибающий момент для бесконсольной балки на двух шарнирных опорах:

Мmax = ql2/8 = 1045.65·52/8 = 3267.656 кг·м = 326765.6 кг·см

Почему это так, достаточно подробно рассказывается в другой статье.

4. Проверяем выполнение условия (326.1.2):

M = 326765.6 < Rbb’fh’f(ho — 0.5h’f) = 105.3·76·8(20.5 — 4) = 1056369.6

5. Условие выполняется, расчет сечения арматуры в сжатой зоне можно производить по формулам (220.6.6) и (220.6.7), тогда:

аm = 326765.6/(105.3·76·20.52) = 0.09716

6. am = 0.09716 < aR = 0.39/1.5 = 0.26, значит арматура в сжатой зоне не требуется, тогда требуемая площадь сечения арматуры в растянутой зоне составит:

Аs = 105.3·76·20.5(1 — √1 — 2·0.09716)/3600 = 4.67 см2

Диаметр арматуры можно подобрать по следующей таблице:

Таблица 2. Площади поперечных сечений и масса арматурных стержней.

7. Для армирования балки можно использовать 2 стержня диаметром 18 мм, площадь сечения стержней составит 5.09 см2.

8. Проверяем соблюдение необходимой толщины защитного слоя бетона при выбранной арматуре. Толщина защитного слоя согласно п.5.5 СНиП 2.03.01-84 должна быть не менее диаметра арматуры и ≥ 15 мм. В нашем случае толщина защитного слоя бетона составит:

hз = а — d/2 = 25 — 18/2 = 16 мм

Условие не выполнено, поэтому для расчетов следует принять большее значение а. Например, при а = 27 мм ho = 20.3 см.

аm = 326765.6/(105.3·76·20.32) = 0.0991

Аs = 105.3·76·20.3(1 — √1 — 2·0.0991)/3600 = 4.71 см2

9. Расстояние в свету между стержнями арматуры составит 100 — 2а — d = 100 — 54 — 18 = 28 мм. Это означает, что для для бетонирования балки следует использовать бетонную смесь с максимальным размером зерен щебня 28 мм. Если предполагается использование крупного заполнителя больших размеров, то следует или увеличить ширину балки, или увеличить высоту балки, что позволит уменьшить диаметр используемой арматуры.

Примечание: если балки и плита будут бетонироваться отдельно, то тогда балки следует рассчитывать как элементы прямоугольного сечения с высотой, равной высоте балок.

Проблемы [ править ]

Проблема с тавровой балкой по сравнению с двутавровой балкой — отсутствие нижней полки. Кроме того, это делает балку не такой универсальной из-за того, что более слабая сторона не имеет фланца, что делает ее менее прочной на разрыв.

Бетонные балки часто заливают как одно целое с плитой, образуя гораздо более прочную Т- образную балку. Эти балки очень эффективны, потому что часть плиты несет сжимающие нагрузки, а арматурные стержни, расположенные в нижней части штанги, несут напряжение. Тавровая балка обычно имеет более узкую штангу, чем обычная прямоугольная балка. Эти стержни обычно расположены на расстоянии от 4 футов-0 дюймов до более 12 футов-0 дюймов. Часть плиты над штоком спроектирована как односторонняя плита, проходящая между штангами. [ необходима цитата

]

Маркировка и размеры

Согласно имеющимся стандартам, все сборные железобетонные конструкции для сооружения перекрытий имеют свою маркировку согласно классификации. Каждой балке присвоен свой типоразмер. Аббревиатурой БСП маркируются балки железобетонные стропильные с параллельными поясами. БСО балками называют железобетонные стропильные, односкатные элементы, а БСД – стропильные, двускатные. Подстропильные конструкции принято маркировать буквами БП.

К буквенным обозначениям принято прилагать также цифры. Маркировка содержит три группы букв и цифр.

1. Для обозначения типа (буква), типоразмера и перекрываемого пролета в метрах (целые арабские цифры).
2. Для идентификации категории по несущей способности, класса используемых стальных прутьев и марки бетонной смеси.
3. Для уточнения дополнительных характеристик, таких как конструктивные отличия, особенности условий применения и т. п.

Вне зависимости от области применения балок существуют три показателя размеров, для которых нужен четкий расчет.

1. Длина (L). Эта величина должна быть больше длины пролета на 0,4 м и заходить за края опорных частей по 0,20 м на несущие стены.
2. Высота (H). Параметр должен равняться минимум 5% от длины или ее 1/20 часть.
3. Ширина (B). Отношение этой величины к высоте должно составлять 5:7.

Вернуться к оглавлению

Балки двутавровые [ править ]

Основная статья: Двойная тройка

Балка двутавровая или двутавровая — это несущая конструкция, напоминающая две соединенные друг с другом тавровые балки. Двойные тройники изготавливаются из предварительно напряженного бетона с использованием станины предварительного натяжения длиной от 200 футов (61 м) до 500 футов (150 м). Прочное соединение фланца (горизонтальное сечение) и двух стенок (вертикальных элементов) создает конструкцию, способную выдерживать высокие нагрузки при большом пролете. Типичные размеры двойных тройников составляют до 15 футов (4,6 м) для ширины фланца, до 5 футов (1,5 м) для глубины стенки и до 80 футов (24 м) или более для длины пролета. [10]

Теоретические основы расчета

Согласно СНиП 2.03.01-84 и СП 52-101-2003 расчет тавровых поперечных сечений без арматуры в сжатой зоне рекомендуется выполнять с использованием следующих положений:

а) Если нейтральная плоскость (граница между сжимаемой и растягиваемой зонами сечения) проходит в полке (рисунок 326.1.а), т.е. соблюдаются условия:

RsAs < Rbb’fh’f(326.1.1)

M ≤ Rbb’fh’f(ho — 0.5h’f) (326.1.2)

и

ξ = у/ho < ξR (220.6.1)

то расчет производится, как для балки прямоугольного сечения с шириной b’f. Подробности расчета по такому алгоритму подробно расписаны в статье «Расчет железобетонной плиты перекрытия». Здесь же приведу только основные формулы:

ξR — предельно допустимое значение относительной высоты сжатой зоны бетона, определяемое по следующей формуле:

(220.6.2)

где Rs — расчетное сопротивление арматуры в МПа. Также предельное значение относительной высоты сжатой зоны бетона можно определить по таблице:

Таблица 220.1. Граничные значения относительной высоты сжатой зоны бетона

Примечание: При выполнении расчетов не профессиональными проектировщиками, ограничивающимися только расчетами по первой группе предельных состояний, я рекомендую занижать предельное значение относительной высоты сжатой зоны ξR (и значение аR) в 1.3-1.5 раза. В связи с этим возможный вариант расчета, когда y > ξRho, далее не рассматривается.

При определении сечения арматуры сначала определяется коэффициент am:

(220.6.6)

при аm < aR арматура в сжатой зоне не требуется, значение аR определяется по таблице 220.1.

При отсутствии арматуры в сжатой зоне сечение арматуры определяется по следующей формуле:

(220.6.7)

В формулах (220.6.6) и (220.6.7) значения b заменяются на b’f.

Рисунок 326.1

б) Если нейтральная плоскость проходит в ребре балки (рисунок 326.1.б), то расчет выполняется, исходя из следующего условия:

M < Rbbу (h0 — 0,5у) + Rbh’f(b’f — b)(h0 — 0.5h’f) (326.2)

где (b’f — b)h’f = Aov — площадь сечения свесов полки.

При этом высота сжатой зоны у определяется, исходя из следующих формул:

RsAs = Rbby + Rbh’f(b’f — b) (326.3.1)

y = (RsAs — RbAov)/Rbb (326.3.2)

при этом высота сжатой зоны принимается у ≤ ξRho.

При определении сечения арматуры сначала определяется коэффициент am:

(326.4.1)

при аm < aR арматура в сжатой зоне не требуется, значение аR определяется по таблице 220.1 (см. выше).

При отсутствии арматуры в сжатой зоне сечение арматуры определяется по следующей формуле:

(326.4.2)

2.Так как ширина полки таврового сечения может быть достаточно большой, например для балок, входящих в состав балочного монолитного перекрытия, то ширина полки балки b’f принимается с учетом следующих условий:

2.1. Ширина свеса полки в каждую сторону от ребра балки bсв = (b’f — b)/2 (на рисунке 326 не показана) должна быть не более 1/6 длины пролета рассчитываемого элемента, а также не более:

2.2. При наличии поперечных ребер (второстепенных балок при расчете главных балок или главных балок при расчете второстепенных балок, при этом ребро рассматриваемой балки считается продольным) или при h’f ≥ 0.1h расчетная ширина полки b’f принимается равной 1/2 расстояния между продольными ребрами в свету.

2.3. При отсутствии поперечных ребер или при расстоянии между поперечными ребрами большем, чем расстояния между продольными ребрами и при h’f < 0.1h расчетная ширина полки b’f = 6h’f.

2.4. При консольных свесах полки (при расчете отдельных балок таврового сечения, не входящих в состав разного рода перекрытий):

а) при h’f ≥ 0.1h расчетная ширина полки b’f = 6h’f;

б) при 0.05h ≤ h’f < 0.1h расчетная ширина полки b’f = 3h’f;

в) при h’f < 0.05h свесы полок в расчетах не учитываются.

2.5. При изменяющейся высоте свесов полки в расчетах допускается использовать среднее значение высоты h’f.

Все это, так сказать, теоретические, а потому не совсем понятные положения, давайте посмотрим, как их можно применить на практике.

Ссылки [ править ]

1. «Непрерывный пролёт железобетонный мост с тройником из балки» (PDF) . Департамент транспорта Вирджинии. Декабрь 2011 . Проверено 25 апреля 2015 года . Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
2. Перейти
   ↑ Ching, Francis DK (1995).
   Визуальный словарь архитектуры
   . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. п. 203. ISBN 978-0-471-28451-2.
3. Амвросий, Джеймс; Трипени, Патрик (2007). Упрощенное проектирование бетонных конструкций (8-е изд.). Чичестер: Вайли. п. 104. ISBN 978-0-470-04414-8. Проверено 26 апреля 2015 года .
4. ^ a b Chajes, Майкл Дж .; Янушка, Тед Ф .; Mertz, Dennis R .; Томсон, Теодор А., младший; Финч, Уильям У. младший (1 мая 1995 г.). «Усиление сдвигом железобетонных балок с использованием композитных материалов наружного применения» . Структурный журнал ACI
   .
   92
   (3). DOI : 10.14359 / 1130 . Проверено 26 апреля 2015 года .
5. Ферлонг, Ричард В .; Фергюсон, Фил М .; Ма, Джон С. (июль 1971 г.). «Исследование сдвига и анкеровки арматуры в перевернутых тавровых балках изгиба колпаковых балок» (PDF) . Отчет об исследовании № 113-4
   . Проверено 26 апреля 2015 года .
6. Ченг, Хок Тиан; Mohammed, Bashar S .; Мустафа, Камал Нашарддин (3 марта 2009 г.). «Экспериментально-аналитический анализ предварительно натянутой перевернутой тавровой балки с круглыми отверстиями в стенке». Международный журнал механики и материалов в дизайне
   .
   5
   (2): 203–215. DOI : 10.1007 / s10999-009-9096-4 . S2CID 136040255 .
7. Университет, Джек К. Маккормак, Университет Клемсона, Рассел Х. Браун, Клемсон (2014). Проектирование железобетона (Девятое издание, ACI 318-11 Code ed.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN 978-1-118-12984-5. Проверено 26 апреля 2015 года .
8. Paramasivam, P .; Ли, SL; Lim, TY (9 января 1987 г.). «Прочность на сдвиг и момент железобетонных балок». Журнал исследований бетона
   .
   39
   (140): 148–160. DOI : 10,1680 / macr.1987.39.140.148 .
9. Перейти
   ↑ Chou, Takashi (август 1977). «Оптимальные сечения железобетонных тавровых балок» .
   Журнал структурного отдела
   .
   103
   (8): 1605–1617 . Проверено 26 апреля 2015 года .
10. Герли, Эван; Хэнсон, Кайла (13 октября 2014 г.). «Сила двойному тройнику» . Журнал Precast Solutions
    . Проверено 26 апреля 2015 года .